极限的存在性定理

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极限的存在性定理:

A1.大数定律成立的条件比中心极限定理宽松，前者只需要一阶矩存在，而后者需要前两阶矩都存在。因为条件更强，中心极限定理的结论也更强，大数定律只是证明几乎处处收敛，却没有指明收敛的速度，而中心极限定理给出了收敛的极限分布和渐近方差。

A2. 中心极限定理有很多版本，最常见的版本要求（或假设）所有样本独立同分布，且他们共同服从的分布存在前两阶原点矩。即, . 由于可以推出，故在使用的时候只要保证二阶矩有限即可。对于并非独立同分布的情形，有较弱条件下的中心极限定理

极限的运算法则

定理1：两个无穷小之和是无穷小。

延伸：有限个无穷小之和是无穷小。

定理2：有界函数乘以无穷小是无穷小。

推论1：常数乘以无穷小是无穷小。

推论2：有限个无穷小的乘积是无穷小

定理3：如果 lim f(x)=A, lim g(x)=b,那么：

（1）lim[ f(x) ± g(x)]=lim f(x) ± lim g(x)=A+B;

(2) lim[ f(x) · g(x)]=lim f(x) · lim g(x)=A · B;

（3） lim ( f(x) / g(x) )=lim f(x) / lim g(x)=A / B

推论1 ：如果lim f(x) 存在，而c为常数，那么

lim [c f(x)]= c lim f(x)

求极限时，常数因子可以提到极限符号外面，因为 lim c=c

总结：当 x →∞时，分子的最大指数值大于分母的最大指数值时，极限为 0；

分子的最大指数值等于分母的最大指数值时，极限为分子的最大指数值的常数比上分母的最大指数值的常数；分子的最大指数值小于分母的最大指数值时，极限无穷大 ∞。

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